Представление тока и напряжения в модели прямой и обратной волны
U = Uf + Ur (1)
I = If – Ir (2)
Получаем в измерителе дополнительное напряжение пропорциональное току в линии, умножаем I на произвольное Z
I*Z = If*Z – Ir*Z (3)
Получаем два других уравнения, слагая и вычитая из уравнения (1) уравнение (3)
U+ I*Z = Uf + If*Z + Ur – Ir*Z (4)
U - I*Z = Uf - If*Z + Ur + Ir*Z (5)
Умножаем каждую из частей уравнений (4) и (5) на комплексно сопряжённое к ней
(U+ I*Z)*(U+I*Z*) = (Uf + If*Z + Ur – Ir*Z)*( Uf + If*Z* + Ur – Ir*Z*) = Uf ^2+ If^2*Magnitude(Z)^2 + Ur^2 + Ir^2* Magnitude(Z)^2 + 2*( +Uf *If*Re(Z) +Uf* Ur – Uf*Ir*Z + Ur*If*Re(Z) - If*Ir* Magnitude(Z)^2 – Ur*Ir*Re(Z)) (6)
(U - I*Z)*(U- I*Z*) = (Uf - If*Z + Ur + Ir*Z)*( Uf - If*Z* + Ur + Ir*Z*) = Uf ^2+ If^2* Magnitude(Z)^2 + Ur^2 + Ir^2* Magnitude(Z)^2 + 2*( - Uf*If* Re(Z) + Uf* Ur + Uf* Ir*Z - Ur*If*Z - If*Ir*Magnitude(Z)^2 + Ur*Ir* Re(Z)) (7)
Теперь из (6) вычитаем (7). Зачёркнуты сокращающиеся члены
(U+ I*Z)*(U+I*Z*) - (U - I*Z) *(U- I*Z*) = 4*Re(Z)*(Uf *If – Ur* Ir) + 4*Z*(Ur*If– Uf*Ir) (Финиш)
Первое слагаемое справа даёт нам искомую мощность (пропорционально ей).
Второе слагаемое есть 0. Чтобы это показать, достаточно выразить Напряжения через токи и волновое линии.
Ur*If– Uf*Ir= Ir*Zv*If – If*Zv*Ir=0
Вот и получается, что выбор импеданса при получении в схеме напряжения из тока в линии, теоретически не имеет никакого значения. Потому будем его выбирать в соответствии с другими критериями, диктуемыми схемотехнической реализацией.
Естественно всё это работает, если исходные положения в представлении волн f и r выполняются достаточно точно.
Что последнее означает, когда будут соблюдаться эти условия с достаточной точностью, это требует дополнительного обсуждения.