Как я и сомневался, в предыдущем рассмотрении сделаны незаконные переходы (в физическом смысле) в комплексном представлении.
Надеюсь сейчас исправил.
Как неоднократно пишет мне Amw, мы просто приводим измеряемое напряжение и ток к нужному нам виду, чтобы использовать модель прямой и обратной волны, в части определения передаваемой активной мощности. Для этого мы представляем ток и напряжение в таком виде
U = Uf + Ur (1.1)
I = If – Ir (1.2)
В этих двух уравнениях ток и напряжение попарно синфазны для одинаковых индексов f и r.
Соответственно между током и напряжением существует в таком случае строгая взаимосвязь
Uf = Zv*If (2.1)
Ur= Zv*Ir (2.2)
Здесь Zv некий коэффициент Im(Zv) = 0. По аналогии с моделью П и О волн назовём его волновым сопротивлением, чисто условно.
Получаем в измерителе дополнительное напряжение пропорциональное току в линии, математически выражается умножением I на произвольное Z (комплексное)
I*Z = If*Z – Ir*Z (3)
Получаем два других уравнения, слагая и вычитая из уравнения (1.1) уравнение (3)
U+ I*Z = Uf + If*Z + Ur– Ir*Z (4)
U - I*Z = Uf - If*Z + Ur+ Ir*Z (5)
Эти уравнения выражают получение двух напряжений, обычно называемых "Прямая волна" "Обратная волна" или Падающая и Отражённая волна.
Умножаем каждую из частей уравнений (4) и (5) на комплексно сопряжённую ей (вот здесь нельзя считать Uf и Ur, соответственно и токи волн, действительными одновременно, как было допущено ранее). Теперь у нас слева будет стоять квадрат амплитуды напряжения с соответствующего выхода измерителя, амплитудные значения (они уже действительные числа) которых мы обозначим некими U1 и U2
U12 = (U+ I*Z)*(U*+(I*Z)*) = (Uf + If*Z + Ur– Ir*Z)*(U*f +(If*Z)* + U*r – (Ir*Z)*) =
Uf*U*f + Uf*(If*Z)* + Uf*U*r – Uf*(Ir*Z)* + U*f*If*Z + If*Z*(If*Z)* + U*r*If*Z – If*Z*(Ir*Z)* + Ur*U*f + Ur*(If*Z)* + Ur*U*r – Ur*(Ir*Z)* – U*f*Ir*Z – Ir*Z*(If*Z)* – Ir*Z*U*r + Ir*Z*(Ir*Z)* (6)
U22 = (U–I*Z)*(U*– (I*Z)*) = (Uf – If*Z + Ur+ Ir*Z)*(U*f – (If*Z)* + U*r + (Ir*Z)*) =
Uf*U*f – Uf*(If*Z)* + Uf*U*r + Uf*(Ir*Z)* –U*f*If*Z + If*Z*(If*Z)* – U*r *If*Z – If*Z*(Ir*Z)* + Ur*U*f – Ur*(If*Z)* + Ur*U*r + Ur*(Ir*Z)* + U*f*Ir*Z – Ir*Z*(If*Z)* + Ir*Z*U*r + Ir*Z*(Ir*Z)* (7)
Теперь из (6) вычитаем (7). Члены с одинаковыми знаками сокращаются и остаётся такое выражение
U12 – U22 = 2*(Uf*(If*Z)* + (–Uf*(Ir*Z)*) + U*f*If*Z + U*r*If*Z + Ur*(If*Z)* + (– Ur*(Ir*Z)*) + (– U*f*Ir*Z + (– Ir*Z*U*r))
Сгруппировав по произведениям тока и напряжения одной волны и по перекрёстным произведениям получаем
U12 – U22 = 2*((Uf*(If*Z)* + U*f*If*Z) – (Ur*(Ir*Z)* + U*r*Ir*Z)) + (U*r*If*Z+ Ur*(If*Z)* – Uf*(Ir*Z)* – U*f*Ir*Z) (Финиш)
Быстро и легко его проанализировать не получится.
Рассмотрим первый случай, когда Im(Z)=0, это означает, что датчик тока можно представить чисто активным сопротивлением. Тогда из произведений вида (I*Z)* можно Z вынести из скобок и получим
=2*( (Uf*I*f*Z + U*f*If*Z) – (Ur*I*r*Z + U*r *Ir*Z)) + (U*r*If*Z + Ur*I*f*Z – Uf*I*r*Z – U*f*Ir*Z) =
2*Z*((Uf*I*f + U*f*If) – (Ur*I*r + U*r*Ir)) + (U*r*If + Ur*I*f – Uf*I*r – U*f*Ir)
Используем равенства U=I*Zv (2.1) и (2.2)
2*Z*( (If*I*f*Zv+ I*f*If*Zv) – (Ir *I*r*Zv + I*r*Ir*Zv)) + Zv*(I*r*If + Ir*I*f – If*I*r – I*f*Ir)
Последняя скобка тождественно равна 0. Приведя подобные члены, получаем окончательное выражение для разности квадратов напряжений на выходах измерителя
U12 – U22 = 4*Z*(If*I*f*Zv – I*r*Ir*Zv)) = 4*Z*(Uf*U*f/Zv – U*r*Ur/Zv)) (Финиш 1)
Справа в скобках стоит как раз передаваемая активная мощность.
В итоге мы получили, что разность квадратов напряжений на выходах измерителя пропорциональна передаваемой мощности.